Satisfacibilidad Modulo de Teorías (SMT) - Z3

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Muy básicamente, esta herramienta nos ayudará a encontrar valores para variables que deben satisfacer ciertas condiciones y calcularlos a mano sería muy tedioso. Por lo tanto, puedes indicarle a Z3 las condiciones que las variables deben satisfacer y encontrará algunos valores (si es posible).

Algunos textos y ejemplos están extraídos de https://ericpony.github.io/z3py-tutorial/guide-examples.htm

Operaciones básicas

Booleanos/And/Or/Not

#pip3 install z3-solver
from z3 import *
s = Solver() #The solver will be given the conditions

x = Bool("x") #Declare the symbos x, y and z
y = Bool("y")
z = Bool("z")

# (x or y or !z) and y
s.add(And(Or(x,y,Not(z)),y))
s.check() #If response is "sat" then the model is satifable, if "unsat" something is wrong
print(s.model()) #Print valid values to satisfy the model

Ints/Simplify/Reals

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
#Simplify a "complex" ecuation
print(simplify(And(x + 1 >= 3, x**2 + x**2 + y**2 + 2 >= 5)))
#And(x >= 2, 2*x**2 + y**2 >= 3)

#Note that Z3 is capable to treat irrational numbers (An irrational algebraic number is a root of a polynomial with integer coefficients. Internally, Z3 represents all these numbers precisely.)
#so you can get the decimals you need from the solution
r1 = Real('r1')
r2 = Real('r2')
#Solve the ecuation
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))
#Solve the ecuation with 30 decimals
set_option(precision=30)
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))

Imprimir el modelo

from z3 import *

x, y, z = Reals('x y z')
s = Solver()
s.add(x > 1, y > 1, x + y > 3, z - x < 10)
s.check()

m = s.model()
print ("x = %s" % m[x])
for d in m.decls():
print("%s = %s" % (d.name(), m[d]))

Aritmética de máquina

Los procesadores modernos y los lenguajes de programación más utilizados usan aritmética sobre bit-vectors de tamaño fijo. La aritmética de máquina está disponible en Z3Py como Bit-Vectors.

from z3 import *

x = BitVec('x', 16) #Bit vector variable "x" of length 16 bit
y = BitVec('y', 16)

e = BitVecVal(10, 16) #Bit vector with value 10 of length 16bits
a = BitVecVal(-1, 16)
b = BitVecVal(65535, 16)
print(simplify(a == b)) #This is True!
a = BitVecVal(-1, 32)
b = BitVecVal(65535, 32)
print(simplify(a == b)) #This is False

Números con signo y sin signo

Z3 proporciona versiones especiales con signo de las operaciones aritméticas cuando importa si el vector de bits se trata como con signo o sin signo. En Z3Py, los operadores <, <=, >, >=, /, % y >> corresponden a las versiones con signo. Los operadores correspondientes sin signo son ULT, ULE, UGT, UGE, UDiv, URem y LShR.

from z3 import *

# Create to bit-vectors of size 32
x, y = BitVecs('x y', 32)
solve(x + y == 2, x > 0, y > 0)

# Bit-wise operators
# & bit-wise and
# | bit-wise or
# ~ bit-wise not
solve(x & y == ~y)
solve(x < 0)

# using unsigned version of <
solve(ULT(x, 0))

Auxiliares de bit-vector comúnmente necesarios en reversing

Cuando estés lifting checks from assembly or decompiler output, suele ser mejor modelar cada byte de entrada como un BitVec(..., 8) y luego reconstruir las palabras exactamente como lo hace el código objetivo. Esto evita bugs causados por mezclar enteros matemáticos con aritmética de máquina.

from z3 import *

b0, b1, b2, b3 = BitVecs('b0 b1 b2 b3', 8)
eax = Concat(b3, b2, b1, b0)        # little-endian bytes -> 32-bit register value
low_byte = Extract(7, 0, eax)        # AL
high_word = Extract(31, 16, eax)     # upper 16 bits
signed_b0 = SignExt(24, b0)          # movsx eax, byte ptr [...]
unsigned_b0 = ZeroExt(24, b0)        # movzx eax, byte ptr [...]
rot = RotateLeft(eax, 13)            # rol eax, 13
logical = LShR(eax, 3)               # shr eax, 3
arith = eax >> 3                     # sar eax, 3 (signed shift)

Algunos errores comunes al traducir código a restricciones:

• >> es un desplazamiento a la derecha aritmético para vectores de bits. Usa LShR para la instrucción lógica shr.
• Usa UDiv, URem, ULT, ULE, UGT y UGE cuando la comparación/división original era sin signo.
• Mantén los anchos explícitos. Si el binario trunca a 8 o 16 bits, añade Extract o reconstruye el valor con Concat en lugar de promover silenciosamente todo a enteros de Python.

Funciones

Funciones interpretadas como aritmética donde la función + tiene una interpretación estándar fija (suma dos números). Funciones no interpretadas y constantes son máximamente flexibles; permiten cualquier interpretación que sea consistente con las restricciones sobre la función o la constante.

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
f = Function('f', IntSort(), IntSort())
s = Solver()
s.add(f(f(x)) == x, f(x) == y, x != y)
s.check()
m = s.model()
print("f(f(x)) =", m.evaluate(f(f(x))))
print("f(x)    =", m.evaluate(f(x)))

print(m.evaluate(f(2)))
s.add(f(x) == 4) #Find the value that generates 4 as response
s.check()
print(m.model())

Ejemplos

Solucionador de Sudoku

# 9x9 matrix of integer variables
X = [ [ Int("x_%s_%s" % (i+1, j+1)) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]

# each cell contains a value in {1, ..., 9}
cells_c  = [ And(1 <= X[i][j], X[i][j] <= 9)
for i in range(9) for j in range(9) ]

# each row contains a digit at most once
rows_c   = [ Distinct(X[i]) for i in range(9) ]

# each column contains a digit at most once
cols_c   = [ Distinct([ X[i][j] for i in range(9) ])
for j in range(9) ]

# each 3x3 square contains a digit at most once
sq_c     = [ Distinct([ X[3*i0 + i][3*j0 + j]
for i in range(3) for j in range(3) ])
for i0 in range(3) for j0 in range(3) ]

sudoku_c = cells_c + rows_c + cols_c + sq_c

# sudoku instance, we use '0' for empty cells
instance = ((0,0,0,0,9,4,0,3,0),
(0,0,0,5,1,0,0,0,7),
(0,8,9,0,0,0,0,4,0),
(0,0,0,0,0,0,2,0,8),
(0,6,0,2,0,1,0,5,0),
(1,0,2,0,0,0,0,0,0),
(0,7,0,0,0,0,5,2,0),
(9,0,0,0,6,5,0,0,0),
(0,4,0,9,7,0,0,0,0))

instance_c = [ If(instance[i][j] == 0,
True,
X[i][j] == instance[i][j])
for i in range(9) for j in range(9) ]

s = Solver()
s.add(sudoku_c + instance_c)
if s.check() == sat:
m = s.model()
r = [ [ m.evaluate(X[i][j]) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]
print_matrix(r)
else:
print "failed to solve"

Flujos de trabajo de reversing

Si necesitas symbolically execute the binary and collect constraints automatically, consulta las notas de angr aquí:

Angr

Si ya estás analizando los decompiled checks y solo necesitas resolverlos, raw Z3 suele ser más rápido y más fácil de controlar.

Lifting byte-based checks from a crackme

Un patrón muy común en crackmes y packed loaders es una larga lista de ecuaciones por byte sobre una contraseña candidata. Modela los bytes como vectores de 8 bits, restringe el alfabeto y solo amplíalos cuando el código original los amplíe.

</details>

Este estilo encaja bien con el reversing en el mundo real porque coincide con lo que hacen los writeups modernos en la práctica: recuperar las relaciones aritméticas y a nivel de bits, convertir cada comparación en una restricción y resolver todo el sistema de una vez.

#### Resolución incremental con `push()` / `pop()`

Mientras haces reversing, a menudo quieres probar varias hipótesis sin reconstruir todo el solver. `push()` crea un punto de control y `pop()` descarta las restricciones añadidas después de ese punto de control. Esto es útil cuando no estás seguro de si una rama es signed o unsigned, si un register está zero-extended o sign-extended, o cuando pruebas varias constantes candidatas extraídas del disassembly.
```python
from z3 import *

x = BitVec('x', 32)
s = Solver()
s.add((x & 0xff) == 0x41)

s.push()
s.add(UGT(x, 0x1000))
print(s.check())
s.pop()

s.push()
s.add(x == 0x41)
print(s.check())
print(s.model())
s.pop()

from z3 import *

xs = [BitVec(f'x{i}', 8) for i in range(4)]
s = Solver()
for x in xs:
s.add(And(x >= 0x30, x <= 0x39))
s.add(xs[0] + xs[1] == xs[2] + 1)
s.add(xs[3] == xs[0] ^ 3)

while s.check() == sat:
m = s.model()
print(''.join(chr(m[x].as_long()) for x in xs))
s.add(Or([x != m.eval(x, model_completion=True) for x in xs]))

from z3 import *

t = Then('simplify', 'solve-eqs', 'bit-blast', 'sat')
s = t.solver()