Satisfiability Modulo Theories (SMT) - Z3

Tip

AWSハッキングを学び、実践する：HackTricks Training AWS Red Team Expert (ARTE)
GCPハッキングを学び、実践する：HackTricks Training GCP Red Team Expert (GRTE) Azureハッキングを学び、実践する：HackTricks Training Azure Red Team Expert (AzRTE)

HackTricksをサポートする

• サブスクリプションプランを確認してください！
• **💬 Discordグループまたはテレグラムグループに参加するか、Twitter 🐦 @hacktricks_liveをフォローしてください。
• HackTricksおよびHackTricks CloudのGitHubリポジトリにPRを提出してハッキングトリックを共有してください。

非常に簡単に言うと、このツールは、ある条件を満たす必要がある変数の値を見つけるのを助けます。手で計算するのは面倒なので、変数が満たすべき条件を Z3 に指定すると、（可能であれば）その値を見つけてくれます。

一部の文章と例は https://ericpony.github.io/z3py-tutorial/guide-examples.htm から抽出されています

基本操作

Booleans/And/Or/Not

#pip3 install z3-solver
from z3 import *
s = Solver() #The solver will be given the conditions

x = Bool("x") #Declare the symbos x, y and z
y = Bool("y")
z = Bool("z")

# (x or y or !z) and y
s.add(And(Or(x,y,Not(z)),y))
s.check() #If response is "sat" then the model is satifable, if "unsat" something is wrong
print(s.model()) #Print valid values to satisfy the model

Ints/Simplify/Reals

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
#Simplify a "complex" ecuation
print(simplify(And(x + 1 >= 3, x**2 + x**2 + y**2 + 2 >= 5)))
#And(x >= 2, 2*x**2 + y**2 >= 3)

#Note that Z3 is capable to treat irrational numbers (An irrational algebraic number is a root of a polynomial with integer coefficients. Internally, Z3 represents all these numbers precisely.)
#so you can get the decimals you need from the solution
r1 = Real('r1')
r2 = Real('r2')
#Solve the ecuation
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))
#Solve the ecuation with 30 decimals
set_option(precision=30)
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))

モデルの表示

from z3 import *

x, y, z = Reals('x y z')
s = Solver()
s.add(x > 1, y > 1, x + y > 3, z - x < 10)
s.check()

m = s.model()
print ("x = %s" % m[x])
for d in m.decls():
print("%s = %s" % (d.name(), m[d]))

マシン算術

現代のCPUと主流のプログラミング言語は、fixed-size bit-vectors上での算術を使用します。マシン算術は Z3Py では Bit-Vectors として利用できます。

from z3 import *

x = BitVec('x', 16) #Bit vector variable "x" of length 16 bit
y = BitVec('y', 16)

e = BitVecVal(10, 16) #Bit vector with value 10 of length 16bits
a = BitVecVal(-1, 16)
b = BitVecVal(65535, 16)
print(simplify(a == b)) #This is True!
a = BitVecVal(-1, 32)
b = BitVecVal(65535, 32)
print(simplify(a == b)) #This is False

符号付き/符号なし数値

Z3 は、ビットベクタが符号付きとして扱われるか符号なしとして扱われるかによって差が生じる算術演算の特別な符号付きバージョンを提供します。In Z3Py、演算子 <, <=, >, >=, /, % and >> は 符号付き バージョンに対応します。対応する 符号なし 演算子は ULT, ULE, UGT, UGE, UDiv, URem and LShR.

from z3 import *

# Create to bit-vectors of size 32
x, y = BitVecs('x y', 32)
solve(x + y == 2, x > 0, y > 0)

# Bit-wise operators
# & bit-wise and
# | bit-wise or
# ~ bit-wise not
solve(x & y == ~y)
solve(x < 0)

# using unsigned version of <
solve(ULT(x, 0))

リバースでよく必要になるビットベクトルのヘルパー

アセンブリやデコンパイラの出力からチェックを抽出する場合、通常、各入力バイトを BitVec(..., 8) としてモデル化し、ターゲットコードが行うのとまったく同じ方法でワードを再構築する方が望ましいです。これにより、数学的整数とマシン算術を混ぜることによって生じるバグを回避できます。

from z3 import *

b0, b1, b2, b3 = BitVecs('b0 b1 b2 b3', 8)
eax = Concat(b3, b2, b1, b0)        # little-endian bytes -> 32-bit register value
low_byte = Extract(7, 0, eax)        # AL
high_word = Extract(31, 16, eax)     # upper 16 bits
signed_b0 = SignExt(24, b0)          # movsx eax, byte ptr [...]
unsigned_b0 = ZeroExt(24, b0)        # movzx eax, byte ptr [...]
rot = RotateLeft(eax, 13)            # rol eax, 13
logical = LShR(eax, 3)               # shr eax, 3
arith = eax >> 3                     # sar eax, 3 (signed shift)

Some common pitfalls while translating code into constraints:

• >> is an 算術的 right shift for bit-vectors. Use LShR for the logical shr instruction.
• Use UDiv, URem, ULT, ULE, UGT and UGE when the original comparison/division was unsigned.
• Keep widths explicit. If the binary truncates to 8 or 16 bits, add Extract or rebuild the value with Concat instead of silently promoting everything to Python integers.

関数

解釈された関数（例えば算術のように function + が 固定された標準的解釈（2つの数を足す）を持つもの）は、一方で 未解釈関数 と定数は 最大限柔軟 です；それらは関数や定数にかかる制約と矛盾しない限り 任意の解釈 を許します。

例：f を x に2回適用すると再び x になるが、f を1回適用した x は元の x と異なる。

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
f = Function('f', IntSort(), IntSort())
s = Solver()
s.add(f(f(x)) == x, f(x) == y, x != y)
s.check()
m = s.model()
print("f(f(x)) =", m.evaluate(f(f(x))))
print("f(x)    =", m.evaluate(f(x)))

print(m.evaluate(f(2)))
s.add(f(x) == 4) #Find the value that generates 4 as response
s.check()
print(m.model())

例

数独ソルバー

# 9x9 matrix of integer variables
X = [ [ Int("x_%s_%s" % (i+1, j+1)) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]

# each cell contains a value in {1, ..., 9}
cells_c  = [ And(1 <= X[i][j], X[i][j] <= 9)
for i in range(9) for j in range(9) ]

# each row contains a digit at most once
rows_c   = [ Distinct(X[i]) for i in range(9) ]

# each column contains a digit at most once
cols_c   = [ Distinct([ X[i][j] for i in range(9) ])
for j in range(9) ]

# each 3x3 square contains a digit at most once
sq_c     = [ Distinct([ X[3*i0 + i][3*j0 + j]
for i in range(3) for j in range(3) ])
for i0 in range(3) for j0 in range(3) ]

sudoku_c = cells_c + rows_c + cols_c + sq_c

# sudoku instance, we use '0' for empty cells
instance = ((0,0,0,0,9,4,0,3,0),
(0,0,0,5,1,0,0,0,7),
(0,8,9,0,0,0,0,4,0),
(0,0,0,0,0,0,2,0,8),
(0,6,0,2,0,1,0,5,0),
(1,0,2,0,0,0,0,0,0),
(0,7,0,0,0,0,5,2,0),
(9,0,0,0,6,5,0,0,0),
(0,4,0,9,7,0,0,0,0))

instance_c = [ If(instance[i][j] == 0,
True,
X[i][j] == instance[i][j])
for i in range(9) for j in range(9) ]

s = Solver()
s.add(sudoku_c + instance_c)
if s.check() == sat:
m = s.model()
r = [ [ m.evaluate(X[i][j]) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]
print_matrix(r)
else:
print "failed to solve"

リバース解析のワークフロー

バイナリをシンボリック実行して制約を自動収集する必要があるなら、angrのノートをここで確認してください:

Angr

既にデコンパイルされたチェックを見ていて、それらを解くだけでよければ、raw Z3は通常より高速かつ制御しやすいです。

crackmeからのバイトベースのチェックの抽出

crackmesやpacked loadersでは、候補パスワードに対するバイト等式の長いリストが非常に一般的なパターンです。バイトを8ビットベクトルとしてモデル化し、アルファベットに制約をかけ、元のコードが幅を広げるときだけそれらを拡張してください。

</details>

このスタイルは現実の reversing にうまく適合します。なぜなら現代の writeups が実務で行っていることに一致するからです: 算術・ビット演算の関係を復元し、各比較を制約に変換し、システム全体を一度に解く。

#### `push()` / `pop()` を使った増分的な解法

reversing 中は、ソルバー全体を再構築せずに複数の仮説を試したいことがよくあります。`push()` はチェックポイントを作成し、`pop()` はそのチェックポイント以降に追加した制約を破棄します。これは、分岐が符号付きか符号なしなのかわからない場合や、レジスタがゼロ拡張か符号拡張か判別できない場合、あるいは逆アセンブルから抽出した複数の候補定数を試すときに便利です。
```python
from z3 import *

x = BitVec('x', 32)
s = Solver()
s.add((x & 0xff) == 0x41)

s.push()
s.add(UGT(x, 0x1000))
print(s.check())
s.pop()

s.push()
s.add(x == 0x41)
print(s.check())
print(s.model())
s.pop()

from z3 import *

xs = [BitVec(f'x{i}', 8) for i in range(4)]
s = Solver()
for x in xs:
s.add(And(x >= 0x30, x <= 0x39))
s.add(xs[0] + xs[1] == xs[2] + 1)
s.add(xs[3] == xs[0] ^ 3)

while s.check() == sat:
m = s.model()
print(''.join(chr(m[x].as_long()) for x in xs))
s.add(Or([x != m.eval(x, model_completion=True) for x in xs]))

from z3 import *

t = Then('simplify', 'solve-eqs', 'bit-blast', 'sat')
s = t.solver()