Задовільність у рамках теорій (SMT) - Z3

Tip

Вивчайте та практикуйте AWS Hacking:HackTricks Training AWS Red Team Expert (ARTE)
Вивчайте та практикуйте GCP Hacking: HackTricks Training GCP Red Team Expert (GRTE) Вивчайте та практикуйте Azure Hacking: HackTricks Training Azure Red Team Expert (AzRTE)

Підтримайте HackTricks

• Перевірте плани підписки!
• Приєднуйтесь до 💬 групи Discord або групи telegram або слідкуйте за нами в Twitter 🐦 @hacktricks_live.
• Діліться хакерськими трюками, надсилаючи PR до HackTricks та HackTricks Cloud репозиторіїв на github.

У найпростішому вигляді цей інструмент допомагає знайти значення змінних, які мають задовольняти певні умови, а обчислювати їх вручну буває дуже нудно. Тому можна вказати Z3 умови, яким повинні відповідати змінні, і він знайде деякі значення (якщо це можливо).

Деякі тексти та приклади взяті з https://ericpony.github.io/z3py-tutorial/guide-examples.htm

Основні операції

Булеві/And/Or/Not

#pip3 install z3-solver
from z3 import *
s = Solver() #The solver will be given the conditions

x = Bool("x") #Declare the symbos x, y and z
y = Bool("y")
z = Bool("z")

# (x or y or !z) and y
s.add(And(Or(x,y,Not(z)),y))
s.check() #If response is "sat" then the model is satifable, if "unsat" something is wrong
print(s.model()) #Print valid values to satisfy the model

Ints/Simplify/Reals

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
#Simplify a "complex" ecuation
print(simplify(And(x + 1 >= 3, x**2 + x**2 + y**2 + 2 >= 5)))
#And(x >= 2, 2*x**2 + y**2 >= 3)

#Note that Z3 is capable to treat irrational numbers (An irrational algebraic number is a root of a polynomial with integer coefficients. Internally, Z3 represents all these numbers precisely.)
#so you can get the decimals you need from the solution
r1 = Real('r1')
r2 = Real('r2')
#Solve the ecuation
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))
#Solve the ecuation with 30 decimals
set_option(precision=30)
print(solve(r1**2 + r2**2 == 3, r1**3 == 2))

Виведення моделі

from z3 import *

x, y, z = Reals('x y z')
s = Solver()
s.add(x > 1, y > 1, x + y > 3, z - x < 10)
s.check()

m = s.model()
print ("x = %s" % m[x])
for d in m.decls():
print("%s = %s" % (d.name(), m[d]))

Машинна арифметика

Сучасні CPU та поширені мови програмування використовують арифметику над fixed-size bit-vectors. Машинна арифметика доступна в Z3Py як Bit-Vectors.

from z3 import *

x = BitVec('x', 16) #Bit vector variable "x" of length 16 bit
y = BitVec('y', 16)

e = BitVecVal(10, 16) #Bit vector with value 10 of length 16bits
a = BitVecVal(-1, 16)
b = BitVecVal(65535, 16)
print(simplify(a == b)) #This is True!
a = BitVecVal(-1, 32)
b = BitVecVal(65535, 32)
print(simplify(a == b)) #This is False

Знакові/беззнакові числа

Z3 надає спеціальні знакові версії арифметичних операцій, де має значення, чи bit-vector розглядається як знаковий чи беззнаковий. У Z3Py оператори <, <=, >, >=, /, % and >> відповідають знаковим версіям. Відповідні беззнакові оператори — ULT, ULE, UGT, UGE, UDiv, URem and LShR.

from z3 import *

# Create to bit-vectors of size 32
x, y = BitVecs('x y', 32)
solve(x + y == 2, x > 0, y > 0)

# Bit-wise operators
# & bit-wise and
# | bit-wise or
# ~ bit-wise not
solve(x & y == ~y)
solve(x < 0)

# using unsigned version of <
solve(ULT(x, 0))

Bit-vector helpers, які зазвичай потрібні при reversing

Коли ви lifting checks from assembly or decompiler output, зазвичай краще змоделювати кожен вхідний байт як BitVec(..., 8) і потім відновлювати слова точно так само, як це робить цільовий код. Це запобігає помилкам, спричиненим змішуванням математичних цілих чисел з машинною арифметикою.

from z3 import *

b0, b1, b2, b3 = BitVecs('b0 b1 b2 b3', 8)
eax = Concat(b3, b2, b1, b0)        # little-endian bytes -> 32-bit register value
low_byte = Extract(7, 0, eax)        # AL
high_word = Extract(31, 16, eax)     # upper 16 bits
signed_b0 = SignExt(24, b0)          # movsx eax, byte ptr [...]
unsigned_b0 = ZeroExt(24, b0)        # movzx eax, byte ptr [...]
rot = RotateLeft(eax, 13)            # rol eax, 13
logical = LShR(eax, 3)               # shr eax, 3
arith = eax >> 3                     # sar eax, 3 (signed shift)

Деякі поширені пастки при перетворенні коду в обмеження:

• >> є арифметичним зсувом праворуч для біт-векторів. Для логічної інструкції shr використовуйте LShR.
• Використовуйте UDiv, URem, ULT, ULE, UGT та UGE, коли початкове порівняння/ділення було беззнаковим.
• Задавайте ширини явно. Якщо бінарний файл обрізає до 8 або 16 біт, додайте Extract або відновіть значення за допомогою Concat замість того, щоб автоматично перетворювати все на Python integers.

Functions

Інтерпретовані функції, такі як арифметичні, де function + має фіксовану стандартну інтерпретацію (вона додає два числа). Неінтерпретовані функції і константи є максимально гнучкими; вони дозволяють будь-яку інтерпретацію, яка сумісна з обмеженнями щодо функції або константи.

from z3 import *

x = Int('x')
y = Int('y')
f = Function('f', IntSort(), IntSort())
s = Solver()
s.add(f(f(x)) == x, f(x) == y, x != y)
s.check()
m = s.model()
print("f(f(x)) =", m.evaluate(f(f(x))))
print("f(x)    =", m.evaluate(f(x)))

print(m.evaluate(f(2)))
s.add(f(x) == 4) #Find the value that generates 4 as response
s.check()
print(m.model())

Приклади

Розв’язувач судоку

# 9x9 matrix of integer variables
X = [ [ Int("x_%s_%s" % (i+1, j+1)) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]

# each cell contains a value in {1, ..., 9}
cells_c  = [ And(1 <= X[i][j], X[i][j] <= 9)
for i in range(9) for j in range(9) ]

# each row contains a digit at most once
rows_c   = [ Distinct(X[i]) for i in range(9) ]

# each column contains a digit at most once
cols_c   = [ Distinct([ X[i][j] for i in range(9) ])
for j in range(9) ]

# each 3x3 square contains a digit at most once
sq_c     = [ Distinct([ X[3*i0 + i][3*j0 + j]
for i in range(3) for j in range(3) ])
for i0 in range(3) for j0 in range(3) ]

sudoku_c = cells_c + rows_c + cols_c + sq_c

# sudoku instance, we use '0' for empty cells
instance = ((0,0,0,0,9,4,0,3,0),
(0,0,0,5,1,0,0,0,7),
(0,8,9,0,0,0,0,4,0),
(0,0,0,0,0,0,2,0,8),
(0,6,0,2,0,1,0,5,0),
(1,0,2,0,0,0,0,0,0),
(0,7,0,0,0,0,5,2,0),
(9,0,0,0,6,5,0,0,0),
(0,4,0,9,7,0,0,0,0))

instance_c = [ If(instance[i][j] == 0,
True,
X[i][j] == instance[i][j])
for i in range(9) for j in range(9) ]

s = Solver()
s.add(sudoku_c + instance_c)
if s.check() == sat:
m = s.model()
r = [ [ m.evaluate(X[i][j]) for j in range(9) ]
for i in range(9) ]
print_matrix(r)
else:
print "failed to solve"

Робочі процеси реверсингу

Якщо потрібно символічно виконати бінарник та автоматично зібрати обмеження, перегляньте нотатки angr тут:

Angr

Якщо ви вже дивитесь на декомпільовані перевірки й потрібно лише їх розв’язати, raw Z3 зазвичай швидший і простіший у керуванні.

Витяг байтових перевірок із crackme

A very common pattern in crackmes and packed loaders is a long list of byte equations over a candidate password. Model bytes as 8-bit vectors, constrain the alphabet, and only widen them when the original code widens them.

</details>

This style maps well to real-world reversing because it matches what modern writeups do in practice: recover the arithmetic/bitwise relations, turn each comparison into a constraint, and solve the whole system at once.

#### Інкрементальне розв'язування за допомогою `push()` / `pop()`

Під час reversing часто хочеться перевірити кілька гіпотез, не перебудовуючи весь solver. `push()` створює контрольну точку, а `pop()` відкидає обмеження, додані після цієї точки. Це корисно, коли ви не впевнені, чи гілка є signed чи unsigned, чи регістр zero-extended чи sign-extended, або коли ви пробуєте кілька кандидатних констант, витягнутих із disassembly.
```python
from z3 import *

x = BitVec('x', 32)
s = Solver()
s.add((x & 0xff) == 0x41)

s.push()
s.add(UGT(x, 0x1000))
print(s.check())
s.pop()

s.push()
s.add(x == 0x41)
print(s.check())
print(s.model())
s.pop()

from z3 import *

xs = [BitVec(f'x{i}', 8) for i in range(4)]
s = Solver()
for x in xs:
s.add(And(x >= 0x30, x <= 0x39))
s.add(xs[0] + xs[1] == xs[2] + 1)
s.add(xs[3] == xs[0] ^ 3)

while s.check() == sat:
m = s.model()
print(''.join(chr(m[x].as_long()) for x in xs))
s.add(Or([x != m.eval(x, model_completion=True) for x in xs]))

from z3 import *

t = Then('simplify', 'solve-eqs', 'bit-blast', 'sat')
s = t.solver()